精英家教網(wǎng)已知在△ABC中,∠ACB=90°,
(1)若BC=3,AC=4,P是AB上的點(diǎn),求點(diǎn)P到AC,BC的距離乘積的最大值;
(2)若△ABC的面積是4,求內(nèi)切圓半徑的范圍.
分析:(1)設(shè)P到AC,BC的距離分別為m,n,即可得到P的坐標(biāo),根據(jù)A,B的坐標(biāo)求出直線AB的方程,則點(diǎn)P在直線AB上,代入可得m,n的關(guān)系,利用基本不等式求解即可得到答案;
(2)設(shè)BC=a,CA=b,根據(jù)題意△ABC的面積是4,可得到ab的值,利用基本不等式求出△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍,從而運(yùn)用等面積法,得到內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)P到AC,BC的距離分別為m,n,則P的坐標(biāo)為(n,m),
∵BC=3,AC=4,
則A(4,0),B(0,3),
故由直線的截距式方程可得,直線AB的方程為
x
4
+
y
3
=1
,
∵P是AB上的點(diǎn),則
m
4
+
n
3
=1
,
m
4
+
n
3
=1≥2
mn
12
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∴mn≤3,
∴點(diǎn)P到AC,BC的距離乘積的最大值3;
(2)設(shè)BC=a,CA=b,內(nèi)切圓的半徑為r,
∵△ABC的面積是4,則
1
2
ab
=4,
∴ab=8,
∴△ABC的周長(zhǎng)為BC+CA+AB=a+b+
a2+b2
2
ab
+
2ab
=4
2
+4,
由三角形的“等面積法”可得,
1
2
(a+b+c)r=4,
∴r=
8
a+b+
a2+b2
8
4+4
2
=2
2
-2,
故內(nèi)切圓半徑的取值范圍為(0,2
2
-2].
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線的方程,基本不等式求最值,以及三角形的內(nèi)切圓半徑的問(wèn)題.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷.運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值,難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值.第(2)問(wèn)中,運(yùn)用了“等面積法”求解三角形內(nèi)切圓的半徑是常用的方法.屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知在△ABC中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0),點(diǎn)C在x軸上方.
(Ⅰ)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3),求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的橢圓的方程;
(Ⅱ)若∠ACB=45°,求△ABC的外接圓的方程;
(Ⅲ)若在給定直線y=x+t上任取一點(diǎn)P,從點(diǎn)P向(Ⅱ)中圓引一條切線,切點(diǎn)為Q.問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,恒有PM=PQ?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c;且a=3
3
,c=2,B=150°,求邊b的長(zhǎng)和S△ABC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(sinx,
3
4
),
b
=(cos(x+
π
3
),1)函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求f(x)的最值和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,f(A)=0,a=
3
,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且acosC+
3
2
c=b

(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若a=l,且
3
c-2b=1
,求角B.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•瀘州二模)已知在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且tanB=
2-
3
a2+c2-b2
,
BC
BA
=
1
2

(Ⅰ)求tanB的值;
(Ⅱ)求
2sin2
B
2
+2sin
B
2
cos
B
2
-1
cos(
π
4
-B)
的值.

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