Question

 我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，隨著時(shí)間推移，老齡化現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重，為緩解社會(huì)和家庭壓力，決定采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度．公民在就業(yè)的第一年交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a₁，a₂，…，a_n是一個(gè)公差為d 的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．這就是說(shuō)，如果固定利率為r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₁(1＋r)^n－1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₂(1＋r)^n－2，…，以T_n表示到第n年所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額．

(1) 寫出T_n與T_n－1(n≥2)的遞推關(guān)系式；

(2) 求證：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一個(gè)等比數(shù)列，{B_n}是一個(gè)等差數(shù)列．

Answer 1

 (1) 解：由題意可得：T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n(n≥2)．

(2) 證明：T₁－a₁，對(duì)n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得

T_n＝T_n－1(1＋r)＋a_n＝T_n－2(1＋r)²＋a_n－1(1＋r)＋a_n＝…＝a₁(1＋r)^n－1＋a₂(1＋r)^n－2＋…＋a_n－1(1＋r)＋a_n，①

在①式兩端同乘1＋r，得

(1＋r)T_n＝a₁(1＋r)ⁿ＋a₂(1＋r)^n－1＋…＋a_n－1(1＋r)²＋a_n(1＋r)，②

②－①，得rT_n＝a₁(1＋r)ⁿ＋d[(1＋r)^n－1＋(1＋r)^n－2＋…＋(1＋r)]－a_n＝ [(1＋r)ⁿ－1－r]＋a₁(1＋r)ⁿ－a_n.

即T_n＝ (1＋r)ⁿ－n－.

如果記A_n＝ (1＋r)ⁿ，B_n＝－－n，則T_n＝A_n＋B_n.其中{A_n}是以 (1＋r)為首項(xiàng)，以1＋r(r>0)為公比的等比數(shù)列；{B_n}是以－－為首項(xiàng)，以－為公差的等差數(shù)列．