定義:對于任意x∈[0,1],函數(shù)f(x)≥0恒成立,且當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱f(x)為G函數(shù).已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a-2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,利用函數(shù)圖象討論方程g(2x)+h(-2x+1)=m(m∈R)解的個數(shù)情況.
【答案】分析:(1)欲看函數(shù)g(x)是否為G函數(shù),根據(jù)新定義,主要看它是否滿足兩條,利用定義進行驗證即可.
(2)根據(jù)新定義的G函數(shù)的定義,分別根據(jù)①②兩條性質得出實數(shù)a的值的范圍,最后綜合即可禾
(3)根據(jù)(2)知:a=1,方程為4x+2-2x+1-1=m,令4x=t  方程為t+=m+1,作出其圖形,由圖形可得.
解答:解:(1)當x∈[0,1]時,總有g(x)=x2≥0,滿足條件①對于任意x∈[0,1],函數(shù)f(x)≥0恒成立,(1分)
當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,
g(x1+x2)=(x1+x22≥x+x=g(x1)+g(x2),滿足條件②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,(3分)
(2)∵h(x)=a•2x-1是G函數(shù),∴h(x)=a•2x-1≥0,∴a≥恒成立.(4分)
∴a≥1.(5分)
由g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),得
a•2-1≥a•2-1+a•2-1,
即a[1-(2-1)(2-1)]≤1,(6分)
因為 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1
所以 2-1≤1,2-1≤1,x1與x2不同時等于1
∴0≤(2-1)(2-1)]<1,
∴0<1-(2-1)(2-1)≤1,
∴a≤(7分)
當x1=x2=0時,的最小值=1,∴a≤1,(8分)
綜合上述a的值為1.(8分)
(3)根據(jù)(2)知:a=1,方程為4x+2-2x+1-1=m,(9分)
令4x=t  方程為t+=m+1,如圖 (10分)
由圖形可知:
當m∈{2-1}∪(2,]時,有一解;
當m∈(2-1.2]時,有二不同解;
當m∈(-∞,2-1)∪(,+∞)時,方程無解.(2分)
點評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、根的存在性及根的個數(shù)判斷、最值等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想.屬于中檔題.
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①若存在常數(shù)x0,使f′(x)=0,則函數(shù)f(x)必在x0處取得極值;
②若函數(shù)f(x)在x0處取得極值,則函數(shù)f(x)在x0處必可導;
③若函數(shù)f(x)在R上處處可導,則它有極小值就是它在R上的最小值;
④若對于任意x≠x0都有f(x)>f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的最小值;
⑤若對于任意x<x0有f′(x)>0,對于任意x>x0有f′(x)<0,則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個最大值;
其中正確結論的序號是
④⑤

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x2+y2
xy
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1
4
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(Ⅱ)當x∈(0,+∞),n∈N+時,求證:fn(x)-f(xn)≥2n-2.

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