Question

下面有5個命題：
①數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的充要條件是a_n=pn+q（p≠0）
②如果一個數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=abⁿ+c（a≠0，b≠0，b≠1），則此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是a+c=0
③若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則q是r的逆否命題；
④函數(shù)f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數(shù)，其定義域為[a-1，2a]，則f(x)在(-

2

3

，-

1

3

)上是減函數(shù)；
⑤向量

AB

=(3，4)按向量

a

=(1，2)平移后為（2，2）
其中真命題的編號是

②③④

（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列{a_n}公差為0的情況，得到反例說明①的充分性不成立而錯誤；根據(jù)等比數(shù)列的通項與性質(zhì)，結(jié)合已知S_n求的a_n方法，通過正反論證可得②正確；根據(jù)四種命題的定義及其相互關(guān)系，得到③正確；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和二次函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，得到④正確；根據(jù)向量的定義和平移的規(guī)律，得到⑤錯誤．由此不難得到正確選項．

解答：解：對于①，若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若它的公差d=0
則它的通項是a_n=a₁（常數(shù)），此時a_n=pn+q（p≠0）不能成立，
說明充分性不成立，不是充要條件，故①錯誤；
對于②，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=abⁿ+c
可得當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1）
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=ab+c
接下來討論充分性與必要性
若a+c=0，則ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得數(shù)列的通項為a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1
∴數(shù)列{a_n}構(gòu)成以a（b-1）為首項，公比為b的等比數(shù)列．故充分性成立；
反之，若此數(shù)列是等比數(shù)列，得
∵當(dāng)n≥2時，a_n=ab^n-1（b-1），公比為b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc⇒b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，說明②正確；
對于③，設(shè)命題p：“若A，則B”
則命題p的逆命題q：“若B，則A”，且命題p的否命題r：“若非A，則非B”，
可見q是r的逆否命題，故③正確；
對于④，
∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數(shù)，其定義域為[a-1，2a]，
∴f（-x）=ax²-bx+3a+b=f（x）且a-1+2a=0
∴b=0且a=

1

3

，得函數(shù)表達(dá)式為f（x）=

1

3

x²+1
在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，所以f（x）在(-

2

3

，-

1

3

)上是減函數(shù)
故④正確；
對于⑤，因為向量平移后，終點和起點都發(fā)生了同樣的平移，
故向量的大小與方向均沒有變化，故向量

AB

=(3，4)按向量

a

=(1，2)平移后坐標(biāo)仍為（3，4），故⑤錯誤．
故答案為②③④

點評：本題借助于充要條件的判斷和命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項與性質(zhì)和向量平移等知識點，屬于中檔題．