Question

【題目】已知拋物線與圓相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）求拋物線的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)，作拋物線的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，通過(guò)圓的方程得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求解.

（2）由（1）得到拋物線，求導(dǎo)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線，的方程，聯(lián)立解得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.

（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

代入解得，所以拋物線的方程為.

（2）拋物線，則，設(shè)，

所以切線的方程為，即，

同理切線的方程為，

聯(lián)立解得點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為，代入，

得，所以，

所以點(diǎn)在上，結(jié)論得證.