Question

在△ABC中，分別是,的中點(diǎn)，且，若恒成立，則的最小值為（  ）

A．             B．               C．              D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：如圖所示：

 

∵3AB=2AC，∴AC= AB，

又E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，

∴AE= AC，AF=AB，

∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA

=AB²+（AB）²-2AB• AB•cosA=AB²-AB²cosA，

在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA

=（AB）²+（AB）²-2•AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，

∴=,

∴=.

∵當(dāng)cosA取最小值時(shí)，最大，

∴當(dāng)A→π時(shí)，cosA→-1，此時(shí) 達(dá)到最大值，最大值為 ,

故 恒成立，t的最小值為.選A.

考點(diǎn)：余弦定理，余弦函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，不等式恒成立問題，往往通過“分離參數(shù)”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，解答本題的關(guān)鍵是，熟練掌握余弦定理，利用余弦定理建立三角形的邊角關(guān)系。