Question

已知f（x）=sin⁴x-cos⁴x+2

3

sinxcosx+a
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把y=f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有點向左平行移動

π

3

個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）y=g（x）在[0，

π

2

]上最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+a，即可求出最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，即可求出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）先求出y=g（x）在[0，

π

2

]上最大值與最小值，因為之和為3，即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=sin4x-cos4x+2

3

sinxcosx(x∈R)=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+

3

sin2x=

3

sin2x-cos2x=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)=2sin(2x-

π

6

)+a．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）f(x)=2sin(2x-

π

6

)+a

橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

縱坐標不變

y=2sin(x-

π

6

)+a

向左平移 π 3 個單位

y=2sin(x+

π

6

)+a．
所以函數(shù)g(x)=2sin(x+

π

6

)+a．
（Ⅲ）∵x∈[0，

π

2

]∴x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即

g(x)max=2+a g(x)min=1+a

，
∴2a+3=3
即a=0．

點評：本題主要考察三角函數(shù)中的恒等變換應用以及三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．