Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

x+1

（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）設函數(shù)g（x）=

x

(x+1) x+1

，證明：當x＞0時，函數(shù)f（x）的圖象總在函數(shù)g（x）圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點對定義域分段，判出函數(shù)的極值點，從而得到最大值點，代入原函數(shù)求最大值；
（2）要證當x＞0時，函數(shù)f（x）的圖象總在函數(shù)g（x）圖象的下方把兩函數(shù)作差后得到恒小于0的不等式，換元后構造輔助函數(shù)，求導后證明函數(shù)的最大值小于0，則問題得到證明．

解答：（1）解：因為函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

x+1

的定義域為（-1，+∞）．
f′(x)=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，由f′（x）=0得x=e-1．
所以當x∈（-1，e-1）時，f′（x）＞0．
當x∈（e-1，+∞）時，f′（x）＜0．
所以當x=e-1時f（x）由最大值，最大值為f（e-1）=

1

e

；
（2）證明：f（x）-g（x）＜0等價于

ln(x+1)

x+1

-

x

(x+1) x+1

＜0．
不妨設

x+1

=t 則x=t²-1（t＞1）．
于是不等式等價于2tlnt＜t²-1．
設F（t）=2tlnt-t²+1
則F'（t）=2+lnt-2t
當t＞1時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減．
所以F（t）＜f（1）=0．
也就等價于f（x）＜g（x）恒成立（當x=1時等號成立）．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了構造函數(shù)法，此類問題在考題中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，是難題．