Question

△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心的圓，且3

OA

+4

OB

-5

OC

=

0

．則∠C=

135

°，cosA=

3 10

10

．

Answer 1

分析：將所給的等式中的5

OC

移到等式的一邊，將等式平方求出

OA

•

OB

=0，可求出∠AOB，即

OA

與

OB

的夾角，再通過圓心角與圓周角的關(guān)系，求得∠C，而∠A是∠BOC的一半，可用半角公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：∵3

OA

+4

OB

-5

OC

=

0

∴3

OA

+4

OB

=5

OC

∴9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2
∵A，B，C在圓上
設(shè)OA=OB=OC=1
∴

OA

•

OB

=0
根據(jù) 3

OA

+4

OB

=-5

OC

得出A，B，C三點(diǎn)在圓心的同一側(cè)
∴根據(jù)圓周角定理知∠C=180°-

1

2

×90°=135°
同理求出

OB

•

BC

=

4

5

，
cos∠BOC=

4 5

1×1

=

4

5

∵∠A是∠BOC的一半
∴cosA=

3 10

10

故答案為：135°；

3 10

10

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算和三角形外心的性質(zhì)和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于所給的向量式的整理，注意向量運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用．