Question

如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點(diǎn)，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為2p的線段。 

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求△AMN的外心C的軌跡E；

（2）接上問(wèn)，當(dāng)△AMN的外心C在E上什么位置時(shí)，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）.

Answer 1

（1）x²=2py,它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線,（2）最小值為｜BF｜=

解析:

（1）以直線b為x軸，以過(guò)A點(diǎn)且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

由題意，有｜CA｜=｜CM｜

∴,化簡(jiǎn)，得

x²=2py,它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線.

（2）由（1）得，直線c恰為軌跡E的準(zhǔn)線.

由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0,）是拋物線的焦點(diǎn).

∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由兩點(diǎn)間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

直線BF的方程為聯(lián)立方程組

得.

即C點(diǎn)坐標(biāo)為().

此時(shí)d+｜BC｜的最小值為｜BF｜=.