【題目】已知函數(shù).
(1)若對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間
上有兩個(gè)極值點(diǎn)
.
(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)求證:.
【答案】(1);(2)(i)
,(ⅱ)證明見解析.
【解析】
(1)由題,得對(duì)任意
上恒成立,即
對(duì)任意
上恒成立,分
,
,
三種情況考慮,即可得到本題答案;
(2)(i)函數(shù)在區(qū)間
上有兩個(gè)極值點(diǎn)
,等價(jià)于
的方程
在
上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,通過考慮
在
的取值范圍,即可得到本題答案;
(ⅱ)由題,可證得,又由(i)得
,綜上,即可得到本題答案.
(1)據(jù)題意,得對(duì)任意
上恒成立,
∴對(duì)任意
上恒成立.
令,則
.
①當(dāng)時(shí),
,
在
上為單調(diào)遞增函數(shù).
又∵,
∴當(dāng)時(shí),
,不合題意;
②當(dāng)時(shí),若
,則
,
在
上為單調(diào)遞增函數(shù).
又∵,
∴當(dāng)時(shí),
,不合題意;
③當(dāng)時(shí),若
,則
,
在
上為單調(diào)遞減函數(shù).
又,
∴當(dāng)時(shí),
,符合題意.
綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
(2)令,
,∴
.
令.
分析知,關(guān)于的方程
在
上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(i)引入,則
.
分析知,函數(shù)在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
且,
∴,
即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
(ⅱ)∵,
,
∴.
不妨設(shè),則
,
∴
.
令,則
,
∴當(dāng)時(shí),
,
∴在
上為單調(diào)遞增函數(shù).
∴,即
.
∴.
∴,
∴,
∴.
又由(i),得,∴
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的方程為
,過點(diǎn)
且斜率為
的直線
與曲線
相切于點(diǎn)
.
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線
的極坐標(biāo)方程和點(diǎn)
的極坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)在曲線
上,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓:
的離心率為
,設(shè)
,
分別為橢圓
的右頂點(diǎn),下頂點(diǎn),
的面積為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知不經(jīng)過點(diǎn)的直線
:
交橢圓于
,
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
,若
,求證:直線
過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
是橢圓
的左、右焦點(diǎn),橢圓
過點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線
(不過坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),且點(diǎn)
在
軸上方,點(diǎn)
在
軸下方,若
,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺(tái)舉行文藝比賽,并通過網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播.比賽現(xiàn)場(chǎng)由5名專家組成評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分,場(chǎng)外觀眾也可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分.每位選手的最終得分需要綜合考慮專家評(píng)分和觀眾評(píng)分.某選手參與比賽后,現(xiàn)場(chǎng)專家評(píng)分情況如下表.另有約數(shù)萬名場(chǎng)外觀眾參與評(píng)分,將觀眾評(píng)分按照分組,繪成頻率分布直方圖如下圖.
(Ⅰ)求a的值,并用頻率估計(jì)概率,估計(jì)某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率;
(Ⅱ)從現(xiàn)場(chǎng)專家中隨機(jī)抽取2人,求其中評(píng)分高于9分的至少有1人的概率;
(Ⅲ)考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分.
方案一:計(jì)算所有專家與觀眾評(píng)分的平均數(shù)作為該選手的最終得分;
方案二:分別計(jì)算專家評(píng)分的平均數(shù)和觀眾評(píng)分的平均數(shù)
,用
作為該選手最終得分.
請(qǐng)直接寫出與
的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,直線是拋物線
(
)和圓C:
的公切線,切點(diǎn)(在第一象限)分別為P、Q.F為拋物線的焦點(diǎn),切線
交拋物線的準(zhǔn)線于A,且
.
(1)求切線的方程;
(2)求拋物線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線與曲線
相切也與曲線
相切,則稱直線
為曲線
和曲線
的公切線,已知函數(shù)
,其中
,若曲線
和曲線
的公切線有兩條,則
的取值范圍為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長(zhǎng)為3的正方形,
平面
,
平面
,
.
(1)證明:平面平面
;
(2)在上是否存在一點(diǎn)
,使平面
將幾何體
分成上下兩部分的體積比為
?若存在,求出點(diǎn)
的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求不等式
的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求
的取值范圍.
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