【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，為的中點．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；

（2）點在線段上，且，若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

【答案】（1）（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用空間向量求線線角，先根據(jù)題意確定空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，表示直線方向向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值，最后根據(jù)線線角與向量夾角關(guān)系得線線角余弦值（2）利用空間向量求線面角，先根據(jù)題意確定空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，根據(jù)方程組求面的法向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系列等量關(guān)系，解出的值．

試題解析：（1）

因為平面，且平面，

所以，，

又因為，所以兩兩互相垂直．

分別以為軸建立空間直角坐標系，

則由，可得

，，，，，

又因為為的中點，所以．

所以，，…………2分

所以

，

所以異面直線，所成角的余弦值為．…………………………5分

（2）因為，所以，則，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則 即 令，解得，，

所以是平面的一個法向量．……………………………7分

因為直線與平面所成角的正弦值為，

所以，

解得，

所以的值為．……………………………………………………………10分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，為動直線與橢圓的兩個交點，問：在軸上是否存在點，使為定值？若存在，試求出點的坐標和定值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為常數(shù)，函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的最小值；

（2）若有兩個極值點，（）：

①求實數(shù)的取值范圍；

②求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點為坐標原點，若橢圓與曲線的交點分別為（下上），且兩點滿足．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓上異于其頂點的任一點，作的兩條切線，切點分別為，且直線在軸、軸上的截距分別為，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有．當點橫坐標為時，為正三角形．

（1）求的方程；

（2）若直線，且和 有且只有一個公共點．

①證明直線過定點，并求出定點坐標；

②的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓及點，．

（1）若直線平行于，與圓相交于，兩點，，求直線的方程；

（2）在圓上是否存在點，使得？若存在，求點的個數(shù)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料1.5，乙材料1，用5個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料0.5，乙材料0.3，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150，乙材料90，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤之和的最大值為____________元．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺的一條母線．

（1）已知，分別為，的中點，求證：平面；

（2）已知，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，關(guān)于的不等式恒成立；

（3）若正實數(shù)滿足，證明．

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