Question

如圖，一個(gè)鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔欄的材料為鋁合金，寬均為6cm，上欄和下欄的框內(nèi)高度（不含鋁合金部分）的比為1：2，此鋁合金窗占用的墻面面積為28800cm²，設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為a（cm），b（cm），鋁合金的透光部分的面積為S（cm²）．
（1）試用a，b表示S；
（2）若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題意分別求出上、下兩欄的高和寬，然后利用矩形的面積公式將三個(gè)透光部分的面積求出相加即可得到所求；
（2）抓住ab=28800進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，然后利用基本不等式進(jìn)行求解，注意等號(hào)成立的條件，最后求出取等號(hào)時(shí)a與b的值即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意可知上欄的高為cm，長(zhǎng)為（a-12）cm．
下欄的高為cm，寬為cm．
∴鋁合金的透光部分的面積為S=（a-12）+××2=（b-18）（a-16）
（2）∵ab=28800
∴S=（b-18）（a-16）=29088-2（9a+8b）≤29088-4=29088-1440×4=23328
當(dāng)且僅當(dāng)9a=8b時(shí)，而ab=28800
解得a=160，b=180時(shí)不等式取等號(hào)
∴若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為160cm，180cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，同時(shí)考查利用基本不等式求函數(shù)的最值注意滿(mǎn)足的條件：一正、二定、三相等，屬于中檔題．