Question

設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0
（1）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任意取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任意取一個(gè)，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若a∈[0，2]，b∈[0，1]，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是4×3個(gè)，滿足條件的事件是方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的充要條件為a≥b，可以列舉出所有的滿足條件的事件，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果；
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤1}，其面積為S_Ω=2×1=2，又事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域A={（0≤a≤2，0≤b≤1，a＞b）}，由此能求出方程有實(shí)根的概率．

解答： 解：（1）先從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)為a，再從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)為b，共有4×3=12種選法．其中能使關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)數(shù)根的a、b必須滿足△=4a²-4b²≥0，即|a|≥|b|，共有以下9種選法：（0，0）；（1，0）；（1，1）；（2，0）；（2，1）；（2，2）；（3，0）；（3，1）；（3，2）．
因此所求的概率P=

9

12

=

3

4

；
（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤1}，S_Ω=2×1=2，事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域A={（0≤a≤2，0≤b≤1，a＞b）}，即圖中的陰影部分，S_A=2-

1

2

×1×1=

3

2

，
所以P（A）=

SA

SΩ

=

3 2

2

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率及其運(yùn)算公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．