Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+4n²（m∈R，n∈R）．
（Ⅰ）若m從集合{0，1，2，3}中任取一個(gè)元素，n從集合{0，1，2，4}中任取一個(gè)元素，求方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的概率；
（Ⅱ）若m從區(qū)間[0，4]中任取一個(gè)數(shù)，n從區(qū)間[0，6]中任取一個(gè)數(shù)，求方程f（x）=0沒有實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）為古典概型，只需列舉出所有的基本事件和符合條件的基本事件，作比值即可；
（Ⅱ）為幾何概型，只要得出兩個(gè)區(qū)域的面積，由幾何概型的公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵m取集合{0，1，2，3}中任一個(gè)元素，n取集合{0，1，2，4}中任一個(gè)元素，
∴基本事件（m，n）共有16個(gè)：（0，0），（0，1），（0，2），（0，4），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，4），（2，0），（2，1），（2，2），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，4）．…（2分）
設(shè)“方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，
當(dāng)m≥0，n≥0時(shí)，方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為m＞2n
當(dāng)m＞2n時(shí)，事件A共有4個(gè)：（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），…（4分）
∴方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的概率為p(A)=

4

16

=

1

4

…（6分）
（Ⅱ）∵m從區(qū)間[0，4]中任取一個(gè)數(shù)，n從區(qū)間[0，6]中任取一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（m，n）|0≤m≤4，0≤n≤6}，
這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S=4×6=24…（8分）
設(shè)“方程f（x）=0沒有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（m，n）|0≤m≤4，0≤n≤6，m＜2n}它所表示的部分為梯形，
其面積S1=24-

1

2

×4×2=20…（10分）
由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f（x）=0沒有實(shí)數(shù)根的概率為p(B)=

S1

S

=

20

24

=

5

6

…（12分）

點(diǎn)評：本題以一元二次方程的根為載體，考查古典概型和幾何概型，確定概率模型是關(guān)鍵．