Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（2^x）=2^x+1+1，定義數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=f（a_n）-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=1，且

Sn+1

-

Sn

=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=

bn

an

（n∈N⁺），求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差數(shù)列，若存在，求出m，n，k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由f（2^x）=2^x+1+1求得函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合a_n+1=f（a_n）-1得到數(shù)列{a_n}的遞推式，確定數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，再由

Sn+1

-

Sn

=1求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，進(jìn)一步求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=

bn

an

，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）假設(shè)存在a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的概念得到2^n+1-m=1+2^k-m，該式不成立，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤．

解答： 解：（1）由f（2^x）=2^x+1+1，得
f（x）=2x+1，又a_n+1=f（a_n）-1，
得a_n+1=2a_n+1-1=2a_n，又a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故an=2n-1，
由b₁=1，

Sn+1

-

Sn

=1(n∈N*)，
可得{

Sn

}是已1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

Sn

=n，Sn=n2，
則b_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1滿足上式，
∴b_n=2n-1；
（2）由c_n=

bn

an

，an=2n-1，b_n=2n-1得
cn=

2n-1

2n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
即Tn=1+

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n-1

2n-1

  ①
兩邊同乘公比

1

2

得，

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n

  ②
①-②得(1-

1

2

)Tn=1+

2

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

，
化簡(jiǎn)得：Tn=6-

2n+3

2n-1

；
（3）假設(shè)存在a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差數(shù)列，
則2a_n=a_m+a_k，
2•2^n-1=2^m-1+2^k-1，
兩邊同除2^m-1，得2^n+1-m=1+2^k-m，
∵2^n+1-m為偶數(shù)，而1+2^k-m為奇數(shù)，上面等式矛盾．
∴假設(shè)不成立，
故不存在任三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，體現(xiàn)了反證法解題思想，是中檔題．