Question

（本小題滿分12分）已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，△APB面積的最大值為2．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線AP的傾斜角為，且與橢圓在點B處的切線交于點D，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

（1）；（2）相切；見解析．

【解析】

試題分析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，．

由題意知解得． 2分

故橢圓的方程為． 4分

（2）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可知，，，直線的方程為．

則點坐標(biāo)為，中點的坐標(biāo)為，圓的半徑 6分

由得．

設(shè)點P的坐標(biāo)為 ，則 ．8分

因為點F坐標(biāo)為（1,0），直線PF的斜率為 ，直線PF的方程為4x-3y-4=0，

點E到直線PF的距離為 ．10分

所以d=r，故以BD為直徑的圓與PF相切

考點：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系