Question

在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；

（2）當k＝2時，求點P到直線AB的距離d，且求的面積．

 

 

Answer 1

（1）；（2）d＝，．

【解析】

試題分析：（1）由題設寫出點M，N的坐標，求出線段MN中點坐標，根據(jù)線PA過原點和斜率公式，即可求出k的值；

（2）寫出直線PA的方程，代入橢圓，求出點P，A的坐標，求出直線AB的方程，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得點P到直線AB的距離d；再聯(lián)立直線AB的方程與橢圓的方程，利用韋達定理及弦長公式求出弦AB的長，從而由三角形的面積公式就可求出的面積．

試題解析：（1）由題設知，a＝2，b＝，故M（－2，0），N（0，－），所以線段MN中點的坐標為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，

又直線PA過坐標原點，所以k＝＝. 5分

（2）直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得

，解得x＝±，

因此P，A.

于是C，直線AC的斜率為＝1，

故直線AB的方程為x－y－＝0.

因此，d＝＝. 10分

，消去y，得

15分

考點：1．直線斜率的求法；2．橢圓的標準方程和簡單的幾何性質(zhì)；3．直線與橢圓的位置關系．