已知平行四邊形ABCD(圖1)中,AB=4,BC=5,對角線AC=3,將三角形ACD沿AC折起至
PAC位置(圖2),使二面角
為600,G,H分別是PA,PC的中點.
(1)求證:PC平面BGH;
(2)求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
(1)詳見解析;(2)平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
解析試題分析:(1)求證: 平面
,證明線面垂直,只需證明線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可,由于
是
的中位線,,所以
,由已知
,對角線
,得
,從而可得
,即
,即
,只需再找一條垂線即可,
若問題得證,要證
,只要
即可,由已知二面角
為600,可找二面角的平面角,故過C作
且
,連
,則
,這樣可證得
,從而得證;(2)求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值,求二面角的大小,可采用向量法來求,以CE的中點O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意可得各點的坐標(biāo),分別找出兩個平面的法向量,即可求出平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
試題解析:(1)證明:過C作且
,連BE,PE
,
四邊形
是矩形,
,
平面PEC,
是正三角形
平面PEC
=5=BC,
而H是PC的中點,,
是
的中位線,
,
,
平面BGH.
(2)以CE的中點O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,
,
,
先求平面PAB的法向量為,而平面BGH的法向量為
,
設(shè)平面PAB與平面BGH的夾角為,則
.
考點:直線與平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在幾何體中,點
在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A,B,C,且
,E為
中點,
.
(1)求證;CE∥平面,
(2)求證:平面平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC,PB的中點.
(Ⅰ)求證:PB⊥DM;
(Ⅱ)求點B到平面PAC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在四棱錐中,
平面
,
是正三角形,
與
的交點
恰好是
中點,又
,
,點
在線段
上,且
.
(1)求證:;
(2)求證:平面
;
(3)求二面角的余弦值.
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