Question

一個數(shù)列有30項，滿足a₂-3a₁=a₃-3a₂=…=a₃₀-3a₂₉=1且a₁=3a₃₀，則此數(shù)列所有項的和為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知a_n-3a_n-1=1，整理得a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

）進而判斷數(shù)列{a_n+

1

2

}是以a₁+

1

2

為首項，以3為公比的等比數(shù)列．則數(shù)列{a_n+

1

2

}的通項公式可得，進而可求得a₃₀的表達式，把a₁=3a₃₀求得a₁，進而根據(jù)數(shù)列所有項的和為數(shù)列{a_n+

1

2

}前30項的和減去

1

2

×30得到答案．

解答：解：依題意a_n-3a_n-1=1，整理得a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

）（n≥2）
∴數(shù)列{a_n+

1

2

}是以a₁+

1

2

為首項，以3為公比的等比數(shù)列．
∴a₃₀=（a₁+

1

2

）3²⁹，把a₁=3a₃₀，代入求得a₁=

3 2 (329-1)

1-330

∴數(shù)列所有項的和為

(a 1+ 1 2 )(1-330)

1-3

-30×

1

2

=-

29

2

故答案為-

29

2

點評：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．常需要把不規(guī)則的數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決．