Question

如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，已知AB=3，AD=4，AA₁=2，M是棱A₁D₁的中點，求直線AM與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

解：以D為坐標原點，DA，DC，DD₁為坐標軸，建立O-xyz坐標系，
則，，，
設平面BDD₁B₁的一個法向量為=（x，y，z）
由，可得z=0，令x=3，則y=-4，
可得平面BB₁D₁D的一個法向量=（3，-4，0），∴．
設直線AM與平面BB₁D₁D所成的角是θ，則sinθ====．
故直線AM與平面BB₁D₁D所成角的正弦值是．
分析：先建立空間坐標系，分別求出向量與平面BB₁D₁D的法向量的坐標，再利用公式直線AM與平面BB₁D₁D所成的角是θ，則sinθ=即可求出．
點評：正確利用公式直線AM與平面BB₁D₁D所成的角θ，則sinθ==是解題的關鍵．