Question

在直角坐標(biāo)系上取兩個(gè)定點(diǎn),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)  ,且.

（Ⅰ）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)()是軌跡上的定點(diǎn)，是軌跡上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與直線的斜率滿足，試探究直線的斜率是否是定值？若是定值，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依題意知直線的方程為：      ①……………2分

直線的方程為：        ②…………………3分

設(shè)是直線與交點(diǎn)，①×②得

由　　整理得             …………………4分

∵不與原點(diǎn)重合　∴點(diǎn)不在軌跡M上…………………5分

∴軌跡M的方程為（）…………………6分

（Ⅱ）∵點(diǎn)()在軌跡M上　∴解得，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為

設(shè)，則直線AE方程為：，代入并整理得

…………………9分

 設(shè),,   ∵點(diǎn)在軌跡M上，

∴    ③,       ④………………11分

又得，將③、④式中的代換成，可得

，…………………………12分

∴直線EF的斜率…………………13分

∵

∴

即直線EF的斜率為定值，其值為 

【解析】（Ⅰ）寫出直線方程，消去參數(shù)；（Ⅱ）直線與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，求得。