Question

(本小題滿分14分)已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線分別交于M，N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；

(3)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，記△BPQ的面積為S，當(dāng)S在上變化時(shí)，討論S的大小與Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

Answer 1

解：

(1)由已知得橢圓C的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為D(0，2)，∴，故橢圓C的方程為.  ·····2分                                    

(2)直線的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線AP的方程為，從而

，設(shè)，則，∴直線的方程為：，

得

∴

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立

∴時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值3.                     ·················8分

(3)由(2)知，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，，此時(shí)直線BP的方程為

設(shè)與BP平行的直線

聯(lián)立得

由△＝得

當(dāng)時(shí)，BP與的距離為，此時(shí)S_△BPQ＝

當(dāng)時(shí)，BP與的距離為，此時(shí)S_△BPQ＝

∴當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有4個(gè)

當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有3個(gè)

當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有2個(gè)

當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有1個(gè)

當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)不存在