Question

一個(gè)口袋裝有n個(gè)紅球（n≥5且n∈N）和5個(gè)白球，一次摸將從中摸兩個(gè)球（每次摸獎(jiǎng)后放回），兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)．
（I）試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；
（II）若n=5，求三次摸獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)ε=1的概率及數(shù)學(xué)期望；
（III）記三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為p，當(dāng)n取多少時(shí)，p最大？

Answer 1

分析：（I）記“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球”為事件A，事件A包含的基本事件總數(shù)n=

(n+5)(n+4)

2

，“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球且2個(gè)球異色”為事件B，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m=5n，由此能求出一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率．
（II）三次放回式抽獎(jiǎng)中，“每次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球，且2個(gè)球異色”為獨(dú)立重復(fù)事件，當(dāng)n=5時(shí)，獲獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B（3，

5

9

），三次摸獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)ε=1的概率及數(shù)學(xué)期望．
（III）設(shè)ξ～B（n，p），p（ξ+1）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p，0＜p＜1．令f（p）=3p³-6p²+3p，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)n=20時(shí)，三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．

解答：解：（I）記“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球”為事件A，
則事件A包含的基本事件總數(shù)n=

(n+5)(n+4)

2

，
“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球且2個(gè)球異色”為事件B，
則事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m=5n，
∵兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)，
∴一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=

5n

(n+5)(n+4) 2

=

10n

(n+5)(n+4)

．
（II）三次放回式抽獎(jiǎng)中，“每次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球，且2個(gè)球異色”為獨(dú)立重復(fù)事件，
當(dāng)n=5時(shí)，獲獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B（3，

5

9

），p（ξ=1）=

C

1 3

(

5

9

)(

4

9

)2=

80

243

，
Eξ=np=3×

5

9

=

5

3

．
（III）設(shè)ξ～B（n，p），
p（ξ+1）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p，0＜p＜1．
令f（p）=3p³-6p²+3p，則f′（p）=9p²-12p+3，
由f′（p）=0，得p=

1

3

．
∵當(dāng)0＜p＜

1

3

時(shí)，f′（p）＞0；當(dāng)

1

3

＜p＜1時(shí)，f′（p）＜0．
∴當(dāng)p=

1

3

時(shí)，f（p）有最大值，
由p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
∴當(dāng)n=20時(shí)，三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列，考查概率取最大值時(shí)的紅球的個(gè)數(shù)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．