Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=3a，a_n+1=f（a_n），設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，f（x）=，a₁=3a，a_n+1=f（a_n），可求得a₂，又b_n=，從而可求得b₁，b₂的值；
（2）由a_n+1=，b_n=，可求得b_n+1=，結(jié)合（1）中求得的b₁，b₂可知{lgb_n}是以2為公比，首項(xiàng)為-lg2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（2）得T_n=+++…+，易證當(dāng)n≤3時(shí)，T_n＜；當(dāng)n＞3時(shí)，利用二項(xiàng)式性質(zhì)2^n-1=（1+1）^n-1＞1++＞1+（n-1）+1=n+1，亦可證得T_n＜．
解答：解：（1）∵f（x）=（a＞0），a₁=3a，a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）==a．
由b_n=得b₁=，b₂=…2分
（2）∵a_n+1=，b_n=，
∴b_n+1====…4分
又b₁=，故對(duì)一切正整數(shù)n，都有b_n＞0，
∴l(xiāng)gb_n+1=2lgb_n，
又lgb₁=lg=-lg2≠0，
∴{lgb_n}是以2為公比，首項(xiàng)為-lg2的等比數(shù)列．
故lgb_n=（-lg2）×2^n-1=lg…6分
∴b_n=…7分
（3）由（2）得T_n=+++…+，
當(dāng)n≤3時(shí)，T_n≤++=＜；…8分
當(dāng)n＞3時(shí)，T_n=+++…+=+[++…+]，…9分
又當(dāng)n＞3時(shí)，2^n-1=（1+1）^n-1＞1++＞1+（n-1）+1=n+1，…10分
∴T_n＜+[++…+]
=+
=+[1-]＜+=…13分
綜上，T_n＜…14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，突出考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查等比數(shù)列的確定及通項(xiàng)公式與求和公式的綜合應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理，屬于難題．