Question

5．圍建一個面積為360m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需要維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：米），修建此矩形場地圍墻的總費用為y（單位：元）．
（1）將y表示為x的函數；
（2）寫出函數f（x）=y的單調區(qū)間，并證明；
（3）根據（2），試確定x，試修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

Answer 1

分析 （1）設矩形的另一邊長為am，則根據圍建的矩形場地的面積為360m²，易得a=$\frac{360}{x}$，此時再根據舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數的解析式；
（2）根據函數的表達式，即可研究函數的單調性．
（3）根據（2），x=24時，修建此矩形場地圍墻的總費用最小，

解答 解：（1）設矩形的另一邊長為am，
則y=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360．
由已知ax=360，得a=$\frac{360}{x}$，
∴y=f（x）=225x+$\frac{36{0}^{2}}{x}$-360，（x＞2）．
（2）∵y=f（x）=225x+$\frac{36{0}^{2}}{x}$-360，（x＞2）．
∴f'（x）=$\frac{225{x}^{2}-36{0}^{2}}{{x}^{2}}$，
則由f’（x）＞0得x＞24，此時函數單調遞增，由f’（x）＜0得2＜x＜24，此時函數單調遞減，
故函數的單調遞增區(qū)間為（24，+∞），遞減區(qū)間為（2，24）．
（3）根據（2），x=24時，修建此矩形場地圍墻的總費用最小，最小總費用為f（x）=225x+$\frac{36{0}^{2}}{x}$-360=10440元．

點評 本題主要考查與函數有關的應用問題，利用條件建立函數關系是解決本題的關鍵．