Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx(cosx-sinx)+

1

2

，給出下列三個(gè)命題：
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

2

，

5π

8

]上是減函數(shù)；
（2）直線x=

π

8

是函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=

2

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到．
其中正確的命題序號(hào)是

 

．（將你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：先把函數(shù)式利用倍角公式和兩角和公式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的額單調(diào)性、對(duì)稱性和圖象平移法則，對(duì)三個(gè)命題進(jìn)行驗(yàn)證．

解答：解：f(x)=sinx(cosx-sinx)+

1

2

=sinxcosx-sin²x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）
∴函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=

2

2

sin2x的圖象向左平移

π

8

而得到．命題（3）錯(cuò)誤．
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

1π

8

≤x≤kπ+

5π

8

時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，∴命題（1）正確．
根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知，2x+

π

4

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

1π

8

是函數(shù)的對(duì)稱軸，∴命題（2）正確．
故答案為（1），（2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，涉及單調(diào)性，對(duì)稱性和圖象的平移，內(nèi)容多且復(fù)雜，故平時(shí)應(yīng)注意多積累．