Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=

2

，D為BC中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BC₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角D-AC₁-C的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面BC₁，只需證明CC₁⊥AD，AD⊥BC；
（Ⅱ）連接A₁C交AC₁于M，連接DM．證明A₁B∥平面AC₁D，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明DM∥A₁B即可；
（Ⅲ）以A為坐標原點，AB為Ox軸，AC為Oy軸，AA₁為Oz軸建立空間直角坐標系，求出平面AC₁D、平面AC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角D-AC₁-C的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AD…（1分）
∵AB=AC，且D為AC中點
∴AD⊥BC …（2分）
∵CC₁⊥AD，AD⊥BC，BC∩CC₁=C…（3分）
∴AD⊥平面BC₁…（4分）
（Ⅱ）證明：連接A₁C交AC₁于M，連接DM
∵側面AC₁為平行四邊形
∴M為A₁C中點…（5分）
∵D為BC中點
∴DM∥A₁B…（6分）
∵DM∥A₁B，A₁B?平面AC₁D，DM?平面AC₁D…（7分）
∴A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（Ⅲ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC
又∵AB⊥AC…（9分）
∴以A為坐標原點，AB為Ox軸，AC為Oy軸，AA₁為Oz軸建立空間直角坐標系
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0.5，0.5，0），C₁（0，1，

2

），A₁（0，0，

2

），
∴

AD

=（0.5，0.5，0），

AC1

=（0，1，

2

）…（10分）
設平面AC₁D的法向量為

n1

=（x，y，z），
∴

0.5x+0.5y=0 y+ 2 z=0

令z=1，則x=

2

，y=-

2

∴

n1

=（

2

，-

2

，1）…（11分）
又∵AB⊥平面AC₁
∴平面AC₁的法向量

n2

=

AB

=（1，0，0）…（12分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

5

=

10

5

…（13分）
又由圖可知二面角D-AC₁-C為銳角，二面角的余弦值為

10

5

∴二面角D-AC₁-C的正弦值為

15

5

…（14分）

點評：本題考查線面垂直，線面平行的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查向量法的運用，屬于中檔題．