Question

已知實(shí)數(shù)a，b滿足-1≤a≤1，0≤b≤1，則函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx無極值的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：求出函數(shù)無極值的等價(jià)條件，利用積分求出陰影部分的面積，結(jié)合幾何槪型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2ax+b，
若函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx無極值，
則f′（x）=3x²-2ax+b≥0恒成立，
即△=4a²-12b≤0，即a²≤3b，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖；
則陰影部分的面積S=

∫

1 -1

(1-

x2

3

)dx=（x-

1

9

x³）|

1 -1

=2-

2

9

=

16

9

，
則由幾何槪型的概率公式可得函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx無極值的概率P=

S陰影部分

S矩形

=

16 9

2×1

=

16

18

=

8

9

，
故答案為：

8

9

點(diǎn)評：本題主要考查幾何槪型的概率計(jì)算，利用函數(shù)無價(jià)值以及利用積分求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．