Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足：（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）比較S_n與的大小．

Answer 1

（1）證法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，則a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是以a₁-1=1為首項，且公比為2的等比數(shù)列，…（3分）
則，
∴．…（4分）
證法二：
=，
又a₁=2，則a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是以a₁-1=1為首項，且公比為2的等比數(shù)列，…（3分）
則，∴．…（4分）
（2）解：∵，
∴．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=，…①
∴（n-1），…②
由①-②，得
=
=1-，…（8分）
∴．…（9分）
（3）=2-（n+2）-
=
=，
當(dāng)n=1時，；
n=2時，；
n≥3時，
＞=2n+1，
∴，
∴．
綜上：n=1或2時，；
n≥3時，．…（12分）
分析：（1）法一：由a_n+1=2a_n-n+1，得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），又a₁=2，則a₁-1=1，由此能夠證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
法二：=2，又a₁=2，則a₁-1=1，由此能夠證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由，知，故S_n=，由錯位相減法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（3）=，當(dāng)n=1時，；n=2時，；n≥3時，，由此知n=1或2時，；n≥3時，．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法和不等式的比較．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．