Question

如圖，ABC-A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)M，N分別為A1B和B1C1的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面A₁ACC₁；
（2）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer 1

（1）如圖所示，

取A₁B₁的中點(diǎn)P，連接MP，NP．
又∵點(diǎn)M，N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)，∴NP∥A₁C₁，MP∥B₁B，
∵NP?平面MNP，A₁C₁?平面MNP，∴NP∥平面A₁ACC₁；
同理MP∥平面A₁ACC₁；
又MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面A₁ACC₁；
∴MN∥平面A₁ACC₁；
（2）側(cè)棱與底面垂直可得A₁A⊥AB，A₁A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．
∴

MC

=（-1，2，-1），

CN

=（1，-1，2），

AC

=（0，2，0）．
設(shè)平面ACM的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

n1 • AC =2y1=0 n1 • MC =-x1+2y1-z1=0

，令x₁=1，則z₁=-1，y₁=0．
∴

n1

=（1，0，-1）．
設(shè)平面NCM的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

n2 • MC =-x2+2y2-z2=0 n2 • CN =x2-y2+2z2=0

，令x₂=3，則y₂=1，z₂=-1．
∴

n2

=（3，1，-1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 | | n2 |

=

3+1

2 • 32+12+(-1)2

=

2 22

11

．
設(shè)二面角N-MC-A為θ，則sinθ=

1-cos2＜ n1 ， n2 ＞

=

1-( 2 22 11 )2

=

33

11

．
故二面角N-MC-A的正弦值為

33

11

．