Question

已知動圓過定點P（2，0），且在y軸上截得弦長為4．
（1）求動圓圓心的軌跡Q的方程；
（2）已知點E（m，0）為一個定點，過E作斜率分別為k₁、k₂的兩條直線交軌跡Q于點A、B、C、D四點，且M、N分別是線段AB、CD的中點，若k₁+k₂=1，求證：直線MN過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動圓圓心為O₁（x，y），動圓與y軸交于R，S兩點，由題意，得|O₁P|=|O₁S|，由此得到

x2+22

=

(x-2)2+y2

，從而能求出動圓圓心的軌跡Q的方程．
（2）由

y=k1(x-m) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1m=0，由已知條件推導(dǎo)出M（

2

k12

+m，

2

k1

），N（

2

k22

+m，

2

k2

），由此能證明直線MN恒過定點（m，2）．

解答： （1）解：設(shè)動圓圓心為O₁（x，y），
動圓與y軸交于R，S兩點，由題意，得|O₁P|=|O₁S|，
當(dāng)O₁不在y軸上時，過O₁作O₁H⊥RS交RS于H，則H是RS的中點，
∴|O₁S|=

x2+22

，
又|O₁P|=

(x-2)2+y2

，
∴

x2+22

=

(x-2)2+y2

，
化簡得y²=4x（x≠0）．
又當(dāng)O₁在y軸上時，O₁與O重合，
點O₁的坐標(biāo)為（0，0）也滿足方程y²=4x，
∴動圓圓心的軌跡Q的方程為y²=4x．
（2）證明：由

y=k1(x-m) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1m=0，
y1+y2=

4

k1

，y₁y₂=-4m，
AB中點M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），∴M（

2

k12

+m，

2

k1

），
同理，點N（

2

k22

+m，

2

k2

），
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k1k2

k1+k2

=k1k2，
∴MN：y-

2

k1

=k1k2[x-(

2

k12

+m)]，
即y=k₁k₂（x-m）+2，
∴直線MN恒過定點（m，2）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意中點坐標(biāo)公式的合理運用．