Question

已知直線與曲線x²+y²-2x-2y+1=0相切且直線l交與x軸交于A點，交y軸于點B，則△AOB面積的最小值為________．

Answer 1

3+2
分析：把圓的方程化為標準式方程后，找出圓心坐標和半徑，設出A和B的坐標，利用A和B的坐標寫出直線AB的方程，因為直線AB與圓相切，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，并讓d等于半徑r，列出關于a和b的關系式，然后設a-2等于m大于0，b-1等于n大于0，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，利用基本不等式求出面積的最小值即可．
解答：將圓C的方程化為標準式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圓心C（1，1），半徑r=1
∵直線，
∴A（a，0），B（0，2b），
圓心C（1，1）到直線AB的距離d=r=1即 ，兩邊平方化簡得（a-2）（b-1）=1；
由a＞2，b＞1，可設a-2=m＞0，b-1=n＞0，且mn=1，
所以S_△AOB=ab=（m+2）（n+1）=mn+m+2n+2≥mn+2 +2=3+2 ，當且僅當m=n即a=b+1時取等號．
所以三角形AOB面積的最小值為3+2
故答案為：3+2
點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．