Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e為y=f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．
注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，求出導(dǎo)函數(shù)，將x=e代入等于0，求出a，再將a的值代入檢驗(yàn)．
（II）對(duì)x∈（0，3e]進(jìn)行分區(qū)間討論，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范圍．
解答：解：（I）求導(dǎo)得f′（x）=2（x-a）lnx+=（x-a）（2lnx+1-），
因?yàn)閤=e是f（x）的極值點(diǎn)，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=e或a=3e符合題意，
所以a=e，或a=3e
（II）①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②當(dāng)1＜x≤3e時(shí)，，由題意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得
由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+=（x-a）（2lnx+1-），
令h（x）=2lnx+1-，則h（1）=1-a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-≥2ln3e+1-=2（ln3e-）＞0
又h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h（x）在在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x
則1＜x＜3e，1＜x＜a，從而，當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x，a）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x）內(nèi)是增函數(shù)，
在（x，a）內(nèi)是減函數(shù)，在（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)
所以要使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有
有h（x）=2lnx+1-=0得a=2xlnx+x，將它代入得4x²ln³x≤4e²
又x＞1，注意到函數(shù)4x²ln³x在（1，+∞）上是增函數(shù)故1＜x≤e
再由a=2xlnx+x，及函數(shù)2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得，
所以得
綜上，a的取值范圍為
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值的概念，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)，利用二次求導(dǎo)和函數(shù)零點(diǎn)分區(qū)間計(jì)論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到原函數(shù)的單調(diào)性，本題屬于難題．