Question

已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則稱AB為拋物線的焦點(diǎn)弦．求證：
（1）y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

；
（2）

1

FA

+

1

FB

=

2

p

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線AB的方程為my=x-

p

2

，聯(lián)立

my=x- p 2 y2=2px

，化為y²-2pmy-p²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）利用焦半徑公式即可得出．

解答： 證明：（1）設(shè)直線AB的方程為my=x-

p

2

，聯(lián)立

my=x- p 2 y2=2px

，
化為y²-2pmy-p²=0，
∴y1y2=-p2，y₁+y₂=2pm，
∴x₁x₂=(my1+

p

2

)(my2+

p

2

)=m²y₁y₂+

mp

2

(y1+y2)+

p2

4

=-p²m²+

mp

2

×2mp+

p2

4

=

p2

4

．
（2）∵|FA|=x1+

p

2

，|FB|=x2+

p

2

．
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

x1+ p 2

+

1

x2+ p 2

=

x1+x2+p

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

x1+x2+p

p2 4 + p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

2

p

．
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

2

p

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．