Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到數(shù)列（a，b）．
（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，列舉出所有的數(shù)對(duì)（a，b），并求函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率；
（2）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|-1≤x≤4，x∈R}，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則△=b²-4a≥0即4a≤b²
如圖，4a≤b²包含6個(gè)點(diǎn)：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴事件4a≤b²包含基本事件的個(gè)數(shù)是6個(gè)，而P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，包含3×6個(gè)點(diǎn)，
∴所求事件的概率為=；
（2）函數(shù)f（x）=ax²-bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=，
當(dāng)且僅當(dāng)b≤2a且a＞0時(shí)，
函數(shù)f（x）=ax²-bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?br/>P={x|1≤a≤3，x∈R}，Q={x|-1≤b≤4，x∈R}，
構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)殚L方形部分．
而{（a，b）|1≤a≤3，-1≤b≤4，b≤2a且a＞0}包含的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分．
∴所求事件的概率為P===．
分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有15種情況，又因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）有零點(diǎn)，所以根的判別式大于等于零得到a=2b²，而a=2b²占2種情況，所以即可求得函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率；
（2）本小題是一個(gè)幾何概型的概率問題，先根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，做出面積，利用幾何概型計(jì)算公式得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．