Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若經(jīng)過點M（2，m）可以作出曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲確定函數(shù)的表達式，先求導數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由函數(shù)圖象過點（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）先設切點為（x₀，y₀），根據(jù)導數(shù)的幾何是切線的斜率，列出關(guān)于（x₀，的一個方程，然后根據(jù)此方程必須有三個不同的實數(shù)解，結(jié)合相應函數(shù)有三個不同的零點，最后利用函數(shù)的極值點列出不等關(guān)系即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根據(jù)題意，得

f(1)=-2 f′(1)=0

即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

解得

a=1 b=0

所以f（x）=x³-3x．（4分）
（II）設切點為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀，f'（x₀）=3x₀²-3，切線的斜率為3x₀²-3
則3x₀²-3=

x 3 0 -3x0-m

x0-2

，即2x₀³-6x₀²+6+m=0．（6分）
∵過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個不同的實數(shù)解，（8分）
∴函數(shù)g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點，
∴g（x）的極大值為正、極小值為負（10分）
則g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2，列表：

由

6+m＞0 -2+m＜0

，解得實數(shù)m的取值范圍是-6＜m＜2．（12分）

點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的零點、直線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．