Question

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P是線段AB中點,平面ABCD.

(1)求證:平面EPC;

(2)問在EP上是否存在點F,使平面平面BFC?若存在,求出的值;若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，，理由見解析.

【解析】

（1）由已知得∠APD＝∠BPC＝45°，∠DPC＝90°，從而DP⊥PC，由EP⊥平面ABCD，得EP⊥DP，由此能證明DP⊥平面EPC．

（2）假設存在F，使平面AFD⊥平面BFC，由已知得AD∥平面BFC，從而AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l，由已知得EP⊥AD，而AD⊥AB，從而l⊥平面FAB，∠AFB為平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角，由此能求出當時，平面AFD⊥平面BFC．

解：（1）證明：∵在矩形ABCD中，AB＝2BC，

P、Q分別是線段AB，CD中點，

∴∠APD＝∠BPC＝45°，∴∠DPC＝90°，∴DP⊥PC，

∵EP⊥平面ABCD，DP平面ABCD，

∴EP⊥DP，

又PC∩EP＝P，∴DP⊥平面EPC．

（2）解：假設存在F，使平面AFD⊥平面BFC，

∵AD∥BC，BC平面BFC，AD不包含于平面BFC，

∴AD∥平面BFC，

∴AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l，

∵EP⊥平面ABCD，

∴EP⊥AD，而AD⊥AB，

AB∩EP＝P，∴AD⊥平面EAB，∴l⊥平面FAB，

∴∠AFB為平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角，

∵P是AB的中點，且FP⊥AB，

∴當∠AFB＝90°時，FP＝AP，

∴當時，平面AFD⊥平面BFC．