Question

橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，一條直線l經過點F₁與橢圓交于A，B兩點．
（1）求△ABF₂的周長；
（2）若l的傾斜角為，求△ABF₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導出△ABF₂的周長．
（2）由F₁（-1，0），AB的傾斜角為，知直線AB的方程為y=x+1．由消去x，得7y²-6y-9=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達定理能夠求出△ABF₂的面積．
解答：解：（1）由橢圓的定義，
得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，
又AF₁+BF₁=AB，
所以，△ABF₂的周長=AB+AF₂+BF₂=4a．
又因為a²=4，
所以a=2，
故△ABF₂的周長為8．（6分）
（2）由條件，得F₁（-1，0），
因為AB的傾斜角為，所以AB斜率為1，
故直線AB的方程為y=x+1．（8分）
由，
消去x，得7y²-6y-9=0，（10分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得．
所以（14分）
點評：本題考查三角形周長的求法和三角形面積的計算，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質，注意橢圓定義、韋達定理在解題中的合理運用．