Question

【題目】在空間直角坐標系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），試問
（1）在y軸上是否存在點M，滿足 ？
（2）在y軸上是否存在點M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M坐標．

Answer 1

【答案】
（1）假設在在y軸上存在點M，滿足 ．

因Ｍ在y軸上，可設M（0，y，0），由 ，可得 ，

顯然，此式對任意 恒成立．這就是說y軸上所有點都滿足關系 ．

（2）假設在y軸上存在點M，使△MAB為等邊三角形．

由（1）可知，y軸上任一點都有 ，所以只要 就可以使得△MAB是等邊三角形．

因為

于是 ，解得

故y軸上存在點M使△MAB等邊，M坐標為（0， ，0），或（0， ，0）．

【解析】分析：本題主要考查了空間直角坐標系、空間中的點的坐標、空間兩點間的距離公式，解決問題的關鍵是：(1) 首先設在在y軸上存在點M，根據(jù) ．因為M在y軸上，可設M（0，y，0），可得其滿足的坐標關系式，根據(jù)所得式子說明問題即可；(2) 設在y軸上存在點M，使△MAB為等邊三角形，根據(jù)三邊長度相等計算求得M點坐標即可.