Question

4．中秋節(jié)吃月餅是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)有兩種月餅禮盒，甲禮盒中裝有2個(gè)五仁月餅，2個(gè)豆沙月餅，2個(gè)蓮蓉月餅；乙禮盒中裝有3個(gè)五仁月餅，3個(gè)豆沙月餅．這12個(gè)月餅外觀完全相同，從中隨機(jī)選取4個(gè)．
（Ⅰ）設(shè)事件A為“選取的4個(gè)月餅中恰有2個(gè)五仁月餅，且這2個(gè)五仁月餅選自同一個(gè)禮盒”，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選取的4個(gè)月餅中豆沙月餅的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用組合知識(shí)確定基本事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式得答案；
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，由古典概型概率計(jì)算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知有$P（A）=\frac{C_2^2C_7^2+C_3^2C_7^2}{{C_{12}^4}}=\frac{28}{165}$，
所以事件A發(fā)生的概率為$\frac{28}{165}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
$P（X=0）=\frac{C_5^0C_7^4}{{C_{12}^4}}=\frac{7}{99}$，$P（X=1）=\frac{C_5^1C_7^3}{{C_{12}^4}}=\frac{35}{99}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_7^2}{{C_{12}^4}}=\frac{14}{33}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_7^1}{{C_{12}^4}}=\frac{14}{99}$，$P（X=4）=\frac{C_5^4}{{C_{12}^4}}=\frac{1}{99}$
所以隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{7}{99}$	$\frac{35}{99}$	$\frac{14}{33}$	$\frac{14}{99}$	$\frac{1}{99}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為$E（X）=0×\frac{7}{99}+1×\frac{35}{99}+2×\frac{14}{33}+3×\frac{14}{99}+4×\frac{1}{99}=\frac{5}{3}$

點(diǎn)評(píng) 考點(diǎn)排列組合、古典概型、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，是中檔題．