Question

已知以原點為對稱中心、F（2，0）為右焦點的橢圓C過P（2，

2

），直線l：y=kx+m（k≠0）交橢圓C于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使線段AB的垂直平分線經(jīng)過點Q（0，3）？若存在求出 k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵c=2，且橢圓過點P（2，

2

），所以

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解得a²=8，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在斜率為k的直線，其垂直平分線經(jīng)過點Q（0，3），
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
則△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，所以8k²-m²+4＞0，
又x1+x2=-

4mk

1+2k2

，∴x0=

x1+x2

2

=-

2mk

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

，
∵線段AB的垂直平分線過點Q（0，3），∴k_NQ•k=-1，即

y0-3

x0

•k=-1，∴-m=3+6k²，
代入△＞0整理，得36k⁴+28k²+5＜0，此式顯然不成立．
∴不存在滿足題意的k的值．