Question

選修4-5：不等式選講
設函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-3|-a．
（I）當a=2時，求不等式f（x）≥0的解集；
（II ）若f（x）≥O恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當a=2時，求不等式f（x）≥0 即|x-1|+|2x-3|≥2，
∴①，或②，或 ③．
解①得 x≤，解②得x∈∅，解③得x≥3，
故不等式的解集為{x|x≤，或x≥3}．
（II ）若f（x）≥O恒成立，則f（x）的最小值大于或等于零．
由于函數(shù) f（x）=，顯然函數(shù)在（-∞，]上是減函數(shù)，
故函數(shù)的最小值為 f（）=-a≥0，解得 a≤，
故a的取值范圍為（-∞，]．
分析：（I）當a=2時，由不等式可得 ①，或②，或 ③．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（II ）由題意可得，f（x）的最小值大于或等于零，根據(jù)函數(shù)的解析式可得函數(shù)的最小值為 f（）=-a，從而求得a的取值范圍．
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價轉化和分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．