Question

設(shè)x∈（0，1），冪函數(shù)y=x^α的圖象在直線y=x的上方，則α的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：可對冪函數(shù)的指數(shù)的情況進行討論，分為指數(shù)為負數(shù)，指數(shù)大于1，指數(shù)小于1大于0進行討論，找出符合條件的α的取值范圍

解答：解：由冪函數(shù)的性質(zhì)知：
當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)y=x^α的圖象是下降的，故在x∈（0，1），冪函數(shù)y=x^α的圖象在直線y=x的上方符合題意
當(dāng)α=0時，冪函數(shù)y=x^α的圖象在x∈（0，1）上是一個與y軸平行的線段，是直線y=1的一部分，故其圖象在y=x的上方，符合題意
當(dāng)α∈（0，1）時，由底數(shù)x∈（0，1），冪函數(shù)y=x^α的圖象在y=x的上方，符合題意
當(dāng)α＞1時，由底數(shù)x∈（0，1），冪函數(shù)y=x^α的圖象在y=x的下方，不符合題意符合題意
綜上，符合條件的α的取值范圍是（-∞，1）
故答案為（-∞，1）

點評：本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對冪函數(shù)的圖象變化趨勢即冪函數(shù)的單調(diào)性與冪指數(shù)的取值范圍的關(guān)系比較熟悉，本題考查了分類討論的思想，解題時遇到了不確定的情況往往要分類別進行討論，變不確定為確定．