【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知，證明．

【答案】（1）在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 （2） （3）證明見解析

【解析】

（1）當時，，分析出的正負，從而得的單調(diào)區(qū)間；

（2）由已知分離變量得恒成立．設，則，對 求導，分析出的正負，從而得的單調(diào)區(qū)間和最值，可得a的取值范圍；

（3）欲證，兩邊取對數(shù)，轉化為，由（2）可知的單調(diào)性，可得證．

由題意可知，函數(shù)的定義域為：且，

（1）當時，，

若，則；若，則，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．

（2）若恒成立，則恒成立．

又因為，所以分離變量得恒成立．

設，則，所以．

當時，；當時，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

當時，函數(shù)取最大值，，所以.

（3）欲證，兩邊取對數(shù)，可得，

由（2）可知在上單調(diào)遞增，且所以，命題得證．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器�，F(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：

維修次數(shù)

0

1

2

3

臺數(shù)

5

10

20

15

以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設是曲線上兩點，兩點的橫坐標之和為4，直線的斜率為2.

（1）求曲線的方程；

（2）設是曲線上一點，曲線在點處的切線與直線平行，且，試求三角形的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|

（1）求不等式f（x）≤5的解集；

（2）若關于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在區(qū)間[﹣1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a∈R），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝2cosθ

（1）求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線l過點P（1，1）且與曲線C交于AB兩點，求|PA|+|PB|

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

以直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點的直角坐標為，若直線的極坐標方程為曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）求直線和曲線的普通方程；

（2）設直線和曲線交于兩點，求

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足.

（1）求角的大�。�

（2）若，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在口中， ，沿將翻折到的位置，使平面平面.

（1）求證： 平面；

（2）若在線段上有一點滿足，且二面角的大小為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為A，且橢圓E經(jīng)過與坐標軸不垂直的直線l與橢圓E交于C，D兩點，且直線AC和直線AD的斜率之積為.

（I）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）求證：直線l過定點.

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同步練習冊答案