Question

5．已知曲線y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出導數(shù)，變形運用基本不等式，可得最小值，由點斜式方程可得切線的方程，求得與x，y軸的交點，由三角形的面積公式可得所求面積．

解答 解：y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$的導數(shù)為y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$
≥-$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=-$\frac{1}{4}$，
當且僅當x=0時，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
即有斜率最小的直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$（x-0），
可得與x軸的交點為（2，0），與y軸的交點為（0，$\frac{1}{2}$），
故切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和切線方程，考查基本不等式求最值，以及運算能力，屬于中檔題．