Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a＞b，求：
（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC₁；AB與A₁C₁；AB與B₁C．
（2）異面直線D₁B與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）：主要是掌握異面直線距離的基本概念是兩條直線的公垂線段，題中有的直接讀出來（前兩個(gè)有公垂線段），題中沒有的話得先作出來再利用空間向量來求（第三個(gè)沒有公垂線段）；
（2）解法一連接轉(zhuǎn)化：要求異面直線D₁B與AC所成角的余弦值，先找異面直線D₁B與AC所成角即找出連DD₁的中點(diǎn)F，連接OF、AF，∠AOF就是異面直線D₁B與AC所成的角．然后利用空間向量求角；
解法二利用添加法：在原長方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的長方體，連接BG、D₁G，則AC∥BG，∴∠D₁BG（或其補(bǔ)角）為D₁B與AC所成的角．利用空間向量求角即可．

解答：（1）解：BC為異面直線AB與CC₁的公垂線段，故AB與CC₁的距離為b．
AA₁為異面直線AB與A₁C₁的公垂線段，故AB與A₁C₁的距離為c．
過B作BE⊥B₁C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B₁C的公垂線，BE=

BB1•BC

B1C

=

bc

b2+c2

，即AB與B₁C的距離為

bc

b2+c2

．

（2）解法一：連接BD交AC于點(diǎn)O，取DD₁的中點(diǎn)F，連接OF、AF，則OF∥D₁B，
∴∠AOF就是異面直線D₁B與AC所成的角．
∵AO=

a2+b2

2

，OF=

1

2

BD₁=

1

2

a2+b2+c2

，AF=

b2+ c2 4

，
∴在△AOF中，cos∠AOF═

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．
解法二：如圖，在原長方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的長方體，
連接BG、D₁G，則AC∥BG，∴∠D₁BG（或其補(bǔ)角）為D₁B與AC所成的角．
BD₁=

a2+b2+c2

，BG=

a2+b2

，D₁G=

4a2+c2

，
在△D₁BG中，cos∠D₁BG=

D1B2+BG2-D1G2

2D1B•BG

=-

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

，故所求的余弦值為

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生空間想象能力以及對(duì)異面直線距離的理解，利用空間向量求出兩直線間的距離和夾角．