Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R，a≠0），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若f（x）為“局部奇函數(shù)”，則根據(jù)定義驗(yàn)證條件是否成立即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）為定義域R上的“局部奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x），恒成立，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
當(dāng)f（x）=ax²+2x-4a時(shí)，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
所以方程f（-x）+f（x）=0有解，
因此f（x）為“局部奇函數(shù)”． 
（Ⅱ）當(dāng)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3時(shí)，f（-x）+f（x）=0可化為4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0．
令t=2^x+2^-x，則t≥2，
則4^x+4^-x=t²-2，
從而t²-2mt+2m²-8=0在t≥2有解即可保證f（x）為“局部奇函數(shù)”．   
令F（t）=t²-2mt+2m²-8，
1° 當(dāng)F（2）≤0，t²-2mt+2m²-8=0在x≥2有解，
由F（2）≤0，即2m²-4m-4≤0，解得1-

3

≤m≤1+

3

，
2° 當(dāng)F（2）＞0時(shí)，t²-2mt+2m²-8=0在x≥2有解，等價(jià)于

△=4m2-4(2m2-8)≥0 m＞2 F(2)＞0

，
解得1+

3

＜m≤2

2

．
（說(shuō)明：也可轉(zhuǎn)化為t²-2mt+2m²-8=0的大根大于等于2求解）
綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為1-

3

≤m≤2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)奇偶性有關(guān)的新定義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．