如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是2+
3
,已知點(diǎn)M(1,e)在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)且斜率為K的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,它在x軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交橢圓于另一點(diǎn)H.證明:對任意的K>0,點(diǎn)P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi).
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是2+
3
,M(1,e)在橢圓上,建立方程組,即可求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)出直線QN的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量的數(shù)量積,即可得到結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:由題意,
a+c=2+
3
1
a2
+
c2
a2b2
=1
a2=b2+c2
,解得a2=4,b2=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1
;
(Ⅱ)證明:令P(x1,kx1),H(xH,yH),則Q(-x1,-kx1),N(x1,0)
∴kPN=
k
2
,∴直線QN的方程為y=
k
2
(x-x1),
代入
x2
4
+y2=1
,整理得(1+k2)x2-2k2x1x+k2x12-4=0
∴(-x1)+xH=
2k2x1
1+k2
,∴xH=
2k2x1
1+k2
+x1,
PQ
=(-2x1,-2kx1),
PH
=(
2k2x1
1+k2
,
-kx1
1+k2

PQ
PH
=
-2k2x12
1+k2

∵k>0,x1>0,∴
PQ
PH
<0
∴對任意的k>0,點(diǎn)P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi).
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點(diǎn)P(1,
3
2
)
,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
1
2
,M,N是橢圓右準(zhǔn)線上的兩個(gè)動點(diǎn),且
F1M
F2N
=0

(1)求橢圓的方程;
(2)求MN的最小值;
(3)以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動,值有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•武清區(qū)一模)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、
F2(1,0),M、N是直線x=a2上的兩個(gè)動點(diǎn),且
F1M
F2N
=0

(1)設(shè)曲線C是以MN為直徑的圓,試判斷原點(diǎn)O與圓C的位置關(guān)系;
(2)若以MN為直徑的圓中,最小圓的半徑為2
2
,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為(  )

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