Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a₁和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作S_n,設(shè)集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}.

試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說明
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；
(2)A∩B至多有一個(gè)元素；
(3)當(dāng)a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠.

Answer 1

(1) 正確(2) 正確(3) 不正確

(1)正確.在等差數(shù)列{a_n}中，S_n=,則(a₁+a_n),這表明點(diǎn)(a_n,）的
坐標(biāo)適合方程y(x+a₁),于是點(diǎn)(a_n, )均在直線y=x+a₁上
(2)正確設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，當(dāng)a₁=0時(shí)，方程(^*)無解，此時(shí)A∩B=；當(dāng)a₁≠0時(shí)，方程(^*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解
∴A∩B至多有一個(gè)元素
(3）不正確.取a₁=1,d=1,對(duì)一切的x∈N^*,有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a₁=1≠0如果A∩B≠,那么據(jù)(2）的結(jié)論，A∩B中至多有一個(gè)元素(x₀,y₀）,而x₀=＜0,y₀=＜0,這樣的(x₀,y₀）A,產(chǎn)生矛盾，故a₁=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的.